Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

Начальные данные :

(Рис. 1)

Функция повторяющаяся с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.

Рис. 1

Производная также непрерывна всюду, не считая конечного числа Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .

2) F(x) - кусочно-монотонна.

Потому что отсутствует симметрия относительно OY, также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

Из разложения лицезреем, что при n нечетном воспринимает значения равные 0 , и дополнительно Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье нужно разглядеть случай когда n=1.

Потому формулу для можно записать в виде:

( потому что ).

Раздельно разглядим случай когда n=1:

.

Подставим отысканные коэффициенты в получим:

и вообщем

.

Найдем 1-ые 5 гармоник для отысканного ряда:

1-ая гармоника ,

2-ая гармоника ,

3-ая гармоника ,

4-ая гармоника ,

5-ая гармоника ,

и общий график F(x), сумма выше Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем всеохватывающую форму приобретенного ряда

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

,

но при не существует, потому разглядим случай когдаn=+1 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n=-1:

(т.к. )

И вообщем всеохватывающая форма:

либо

либо

Разложение четной функции в ряд

Данную выше функцию создадим Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье четной(см. теорию), и разглядим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2

Рис.2

потому разложение по косинусу имеет вид:

Из разложения лицезреем что при n=2 дробь теряет смысл потому раздельно разглядим разложения первого и второго коэффициента суммы:

На базе данного разложения запишем функцию в виде ряда:

и вообщем

.

Найдем 1-ые 5 гармоник для отысканного Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье ряда:

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-я гармоника

4-ая гармоника

5-ая гармоника

А сейчас разглядим сумму этих гармоник F(x):

Всеохватывающая форма ряда по косинусам

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

,

но при не существует, потому разглядим случай когдаn=+2 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье=-2:

( т.к. )

И вообщем всеохватывающая форма:

либо

либо

Разложение нечетной функции в ряд

Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3

Рис.3

потому разложение по синусам имеет вид:

Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье учитывать часть суммы), потому разглядим два отдельных варианта.

При n=1:

,

и при n=2:

Беря во внимание данные коэффициенты имеем разложения в виде

и вообщем

Найдем 1-ые 5 гармоник для данного разложения:

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-ая гармоника

4-ая гармоника

5-ая гармоника

И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)

Вывод:

На основании Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых 5 гармоник по каждому разложению можно сказать, что более резвее к данному графику достигается Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье при разложении по синусам.

Всеохватывающая форма ряда по синусам

Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:

, (т.к. )

тогда полный ряд имеет вид:

Глава 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Проверка критерий представимости

Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).

Рис.4

а) f(x)-определенна на Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье R;

б) f(x) растет на , f(x) убывает на - кусочнo-монотонна.

f(x) = const на и .

< .

Интеграл Фурье

В согласовании с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):

;

.

И в конечном варианте интеграл Фурье будет смотреться так:

Интеграл Фурье в всеохватывающей форме

Сейчас представим интеграл Фурье в всеохватывающей форме. На Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье базе выше приобретенных разложений имеем:

,

,

а сейчас получим интеграл в всеохватывающей форме:

.

Глава 4

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Главные сведения

Функцию можно разложить в ортонормированной системе места X=[-1,1] , при этом полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :

. . . . . . . . . .

Для представления функции полиномом Лежандра нужно разложить ее в ряд:

,

где и Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.

Преобразование функции

Наша начальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она размещена на промежутке от 0 до нужно произвести подмену, которая расположит функцию на просвет от -1 до 1.

Подмена:

тогда и F(t) воспримет вид

либо

Вычисление коэффициентов ряда

Исходя из выше изложенной формулы для Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье коэффициентов находим:

Дальше вычисление коэффициентов осложнено, потому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже отысканные:

Разглядим процесс рвения суммы полинома прибавляя попеременно - слагаемое:

А сейчас разглядим график суммы 5 полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

Рис. 5

т.к. разумеется, что на промежутке от Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

На базе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что более резвое рвение из данных разложений к данной функции достигается при разложении функции в ряд.

Глава 5

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Прямое преобразование

Для того, чтоб произвести прямое преобразование, нужно задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Потому разбиваем отрезок от Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье 0 до наN=8 частей, так чтоб приращение:

В нашем случае , и значения функции вk-ых точках будет:

для нашего варианта (т.к.a=0).

Составим табличную функцию:

k
0.785 1.571 2.356 3.142 3.927 4.712 5.498
0.707 0.707

Табл. 1

Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора именуется . Потому найдем :

, n=0,1,...,N-1

Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. разумеется, что от Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).

Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:

зная, , где

, где

n
2,4 0.4
0.318 0.25 0.106 0.021 0.009

Табл. 2

Амплитудный диапазон

Оборотное преобразование

Обратимся к теории гл.1. Оборотное преобразование- есть функция :

В нашем случаи это:

А сейчас найдем модули и составим таблицу по оборотным дискретным преобразованиям:

k
0.785 1.571 2.356 3.142 3.927 4.712 5.498
0.707 0.707
0.708 0.707 8e Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье-4 5e-5 5e-4 3e-4

Табл. 3

Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .

Построим графики используя табл.3, где - этоF(k), а - этоf(k) рис. 6 :

Рис. 6

Вывод:

На базе проделанных расчетов можно заключить, что данная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. О последнем можно сказать, что диапазон (рис. 6) прямого и оборотного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены верно.


razgranichenie-kompetencii-v-rf-predmeti-vedeniya-subektov-rf.html
razgranichenie-podvedomstvennosti-sudov-obshej-yurisdikcii-i-arbitrazhnih-sudov.html
razgranichenie-polnomochij-mezhdu-urovnyami-gosudarstvennogo-upravleniya-sposobom-zaprosa-cenovih-predlozhenij.html