Разложение многочлена на множители.

Показательная функция с всеохватывающим показателем и ее характеристики.

Пусть , если X и Y-действительные переменные, то Z именуется всеохватывающим переменным. Каждому значению всеохватывающего переменного Z на плоскости XOY (плоскости всеохватывающего переменного) соответствует определенная точка.

Опр. Если каждому значению всеохватывающего переменного Z из некой области всеохватывающих значений соответствует определенное значение Разложение многочлена на множители. другой всеохватывающей величины , то есть функция всеохватывающего переменного Z.

вводится понятие предела производной, интеграла и т.д.

Разглядим одну функцию всеохватывающего переменного:

показательную функцию.

при этом определяется так:

Характеристики показательной функции:

1.Если – всеохватывающие числа, то:

= и

3.Если m целое, то:

4.Справедливо тождество:

5.Разглядим всеохватывающую величину: ,

где u(x)и v Разложение многочлена на множители.(x) – действительные функции реального аргумента.

Тогда именуется всеохватывающей функцией реального пере­менного.

Разглядим показательную функцию вида:

ее можно представить в виде: .

Формула Эйлера.

Если в формуле: положить х=0, то получим формулу Эйлера:

при у = -у будем иметь:

Формула Эйлера выражает показательную функцию, через тригонометрические функции. Складывая и вычитая эти Разложение многочлена на множители. равенства, получим:

Получим показательную форму всеохватывающего числа:

Запишем всеохватывающее число в тригонометрической форме . Применим формулу Эйлера . - показательная форма всеохватывающего числа.

Аксиома Безу

Определение. Функция , где n - целое число именуется многочленом (полиномом) либо целой рациональной функцией числа х. Тут n –степень многочлена. Корнем многочлена именуется такое значение х при котором многочлен обращается Разложение многочлена на множители. в нуль. Тут коэффициенты могут быть действительными либо всеохватывающими числами, а переменная хтакже может принимать действительные либо всеохватывающие значения.

Аксиома 1.( Аксиома Безу) При делении многочлена на разность выходит остаток равный .

Подтверждение.При делении на личным будет многочлен степень которого на единицу ниже степени , остатком будет неизменное число т. е Разложение многочлена на множители..

. (1)

Это равенство справедливо для всех . Пусть . Тогда предел левой части , а правой ,

Потому что функции и равны меж собой, то равны и их пределы: .

Следствие.Если аесть корень многочлена, т. е. ,то делится без остатка на т.е. .

Пример:Показать, что многочлен делится без остатка на .

Решение:

Разложение многочлена Разложение многочлена на множители. на множители.

Разглядим уравнение с одним неведомым.

Определение. Всякое число (действительное либо всеохватывающее) которое, будучи подставлено в уравнение заместо х, направляет уравнение в тождество, именуется корнем уравнения.

Пример.Отыскать корешки уравнения . Решение: уравнение с одним неведомым. Корнями являются числа:

; ;

Определение.Если уравнение имеет вид , где - многочлен степени Разложение многочлена на множители. n,то уравнение именуется алгебраическим уравнением степени n.Из определения следует, что корешки алгебраического уравнения те же, что и многочлена .

Появляется вопрос – всякое ли уравнение имеет корешки?

В случае если уравнение не алгебраическое, то оно может не иметь ни 1-го корня, ни реального, ни всеохватывающего, к примеру: .

Но в случае Разложение многочлена на множители. алгебраического уравнения ответ дает основная аксиома алгебры.

Аксиома 2.(Основная аксиома алгебры) Всякая целая рациональная функция имеет, по последней мере, одинкорень действительный либо полный.

Подтверждение в курсе высшей алгебры, но пользуясь этой аксиомой можно обосновать последующую аксиому:

Аксиома 3.Всякий многочлен n –й степени разлагается наnлинейных множителей вида и множитель равный коэффициенту Разложение многочлена на множители. при .

Подтверждение: Пусть - многочлен степени n.

В силу основной аксиомы этот многочлен имеет хотя бы один корень, обозначим его через .Тогда в силу следствия аксиомы Безу

,

где - многочлен - й степени; - также имеет корень, обозначим его через , тогда

,

- многочлен - й степени, который также имеет корень и т.д. Получим: , где Разложение многочлена на множители. - многочлен нулевой степени, - коэффициент при , получим:

.

Замечание.Многочлен n– й степени не может иметь более чем nразличных корней.

Пример.Разложить на множители многочлен .

Решение: Найдем корешки методом подбора.

Поделим данный многочлен на .

5. Кратные корешки многочлена.

Если в разложении многочлена n– й степени на линейные множители некие окажутся схожими, то их Разложение многочлена на множители. можно соединить тогда и разложение будет иметь вид:

при всем этом и корень именуется корнем кратности ; корень именуется корнем кратности , и т.д.

Пример.Многочлен имеет корень кратности 2, 2-ой корень - кратности 1.

Замечание. Все, что говорилось о корнях многочлена

можно сконструировать в определениях корней алгебраического уравнения .

6. Разложение многочлена на множители в случае всеохватывающих Разложение многочлена на множители. корней.

Аксиома. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет полный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Вывод. В разложении всеохватывающие корешки входят попарно-сопряженными.

Перемножив линейные множители, надлежащие паре комплексно-сопряженных корней получим трехчлен 2-ой степени с действительными коэффициентами

,

где и действительные числа.

К примеру:

Если число является корнем Разложение многочлена на множители. кратности k, то сопряженное число должно являться корнем той же кратности k.

при всем этом .


razgranichenie-psihopatij-i-psihopatopodobnih-rasstrojstv-po-prichine-vozniknoveniya.html
razgranicheniya-predmetov-vedeniya-i-polnomochij.html
razgrom-pyatoj-kolonni-pentalogiya-moskva-vityaz.html